Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.

${}B_{2k}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\,$

im geraden Fall (${}k\geq 1$) und

${}B_{2k+1}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\,$

im ungeraden Fall.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen