Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt

Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen ${}\cos x$ und ${}\sin x$ bzw. die komplexe Exponentialfunktion ${}e^{{\mathrm {i} }z}$ eine besondere Rolle, die die Periode ${}2\pi$ haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument ${}x$ bzw. ${}z$ durch ganzzahlige Vielfache ${}nx$ bzw. ${}nz$ ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden ${}{\frac {2\pi }{n}}$, aber ${}2\pi$ bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis (man spricht auch von harmonischer Analysis) möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode ${}T$ ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall ${}[0,T[$. Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in ${}L^{2}([0,T])$, der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen ${}1$ und ${}2\pi$, wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge ${}T$ zulassen und dann ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ setzen.

Die Funktionen ${}e^{{\frac {2\pi }{T}}{\mathrm {i} }nt}$ sind auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbar, wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert Fakt, dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf ${}[0,T]$ anwenden.

Definition

Es sei ${}T>0$ und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu ${}n\in \mathbb {Z}$)

${}c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$

den ${}n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.

Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem ${}L^{2}$-Skalarprodukt ${}\left\langle f,e^{{\frac {2\pi }{T}}nt}\right\rangle =\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi }{T}}nt}dt$.

Definition

Es sei ${}T>0$ und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$-periodische Funktion. Dann nennt man (zu ${}n\in \mathbb {N}$ bzw. ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ für die ${}b$-Koeffizienten)

${}a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$

und

${}b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\,$

die ${}n$-ten (reellen) Fourierkoeffizienten.

Nur wenn ${}f$ reellwertig ist sind die Koeffizienten ${}a_{n}$ bzw. ${}b_{n}$ reell, die Koeffizienten ${}c_{n}$ sind auch in diesem Fall nicht reell.

Lemma

Es sei ${}T>0$ und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$-periodische Funktion.

Dann besteht zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten von ${}f$ die Beziehungen

${}c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\,,$

${}c_{n}={\frac {1}{2}}{\left(a_{n}-{\mathrm {i} }b_{n}\right)}\,,$

${}c_{-n}={\frac {1}{2}}{\left(a_{n}+{\mathrm {i} }b_{n}\right)}\,,$

${}a_{0}=2c_{0}\,,$

${}a_{n}=c_{n}+c_{-n}\,,$

${}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}\,.$

Beweis

Unter Verwendung von Fakt  (1) ist

${}{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t){\left(\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)\right)}dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt+{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left(-{\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cos \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt-{\frac {\mathrm {i} }{T}}\int _{0}^{T}f(t)\sin \left({\frac {2\pi }{T}}nt\right)dt.\end{aligned}}$

Bei ${}n\geq 0$ ist dies ${}{\frac {1}{2}}a_{n}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }b_{n}$, bei ${}n<0$ muss man zum Negativen übergehen und noch einmal Fakt  (3) verwenden.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.

Dann bildet die Familie

${}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}\,$

zu ${}n\in \mathbb {Z}$ ein Orthonormalsystem im Hilbertraum ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle f_{m},f_{n}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f_{m}{\overline {f_{n}}}dx\\&=\int _{0}^{T}{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}{\frac {1}{\sqrt {T}}}{\overline {e^{\omega {\mathrm {i} }nx}}}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}e^{-\omega {\mathrm {i} }nx}dx\\&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx.\end{aligned}}$

Bei ${}m=n$ ist dies

${}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{0}dx={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}1dx=1\,.$

Bei ${}m\neq n$ ist dies

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}dx&={\frac {1}{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{\omega {\mathrm {i} }(m-n)x}\right)}{|}_{0}^{T}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{T\omega {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(e^{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}-e^{0}\right)}\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(m-n)}}{\left(1-1\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.

Dann besteht die von den

${}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}\,$

zu ${}n\in \mathbb {Z}$ erzeugte ${}{\mathbb {C} }$-Algebra aus allen endlichen Summen ${}\sum _{n}r_{n}f_{n}$.

Diese Algebra enthält mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion und trennt die Punkte aus ${}[0,T[$.

Beweis

Wegen

${}f_{m}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}\cdot {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}={\frac {1}{T}}e^{\omega {\mathrm {i} }(m+n)x}\,$

ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor) unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der ${}f_{n}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${}{\mathbb {C} }$-Algebra, der Fall ${}n=0$ sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen

${}{\overline {f_{n}}}=f_{-n}\,$

ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion ${}e^{{\mathrm {i} }\omega x}$ gesichert.

$\Box$

Ausdrücke der Form

${}\sum _{n}r_{n}f_{n}=\sum _{n}{\frac {r_{n}}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nz}\,$

zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch trigonometrische Polynome. Zumeist schreibt man sie als ${}\sum _{n=-N}^{N}{\frac {r_{n}}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nz}$.

Satz

Es sei ${}T>0$ und ${}\omega ={\frac {2\pi }{T}}$.

Dann bildet die Familie

${}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}\,$

zu ${}n\in \mathbb {Z}$ ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

Beweis

Die Orthonormalitätsrelationen wurden in Fakt gezeigt. Nach Fakt ist die von den ${}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass gibt es zu jeder stetigen Funktion

$h\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

und jedem ${}\epsilon >0$ ein trigonometrisches Polynom ${}p$ mit

${}\vert {h(x)-p(x)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}x$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der ${}L^{2}$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in ${}C([0,T],{\mathbb {C} })\subseteq L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist die Algebra dann auch dicht in ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

$\Box$

Aus Fakt folgt mit Fakt, dass jede quadratintegrierbare Funktion

$f\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine konvergente Darstellung

${}f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left\langle f_{n},{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\right\rangle {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\,$

besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der ${}L^{2}$-Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle f_{n},{\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\right\rangle &=\int _{0}^{T}f(t){\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\\&={\frac {1}{\sqrt {T}}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\end{aligned}}$

und somit

${}f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{T}}{\left(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}dt\right)}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}\,$

mit den komplexen Fourierkoeffizienten ${}c_{n}$. Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{{\mathrm {i} }n\omega t}$ nennt man die Fourierreihe zu ${}f$, auch wenn über ${}\mathbb {Z}$ aufsummiert wird. Man spricht auch von der Fourierentwicklung. Die Umformung

${}{\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left(c_{n}e^{\omega {\mathrm {i} }nt}+c_{-n}e^{-\omega {\mathrm {i} }nt}\right)}\\&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left(c_{n}{\left(\cos \omega nt+{\mathrm {i} }\sin \omega nt\right)}+c_{-n}{\left(\cos \omega nt-{\mathrm {i} }\sin \omega nt\right)}\right)}\\&=c_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left({\left(c_{n}+c_{-n}\right)}\cos \omega nt+{\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}\sin \omega nt\right)}\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}\cos \omega nt+b_{n}\sin \omega nt\end{aligned}}$

unter Verwendung von Fakt ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten.