Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Die Orthonormalitätsrelationen wurden in Fakt gezeigt. Nach Fakt ist die von den ${}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}$ erzeugte Algebra punktetrennend und stimmt mit dem erzeugten Vektorraum überein. Nach dem komplexen Satz von Stone-Weierstrass gibt es zu jeder stetigen Funktion

$h\colon [0,T]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

und jedem ${}\epsilon >0$ ein trigonometrisches Polynom ${}p$ mit

${}\vert {h(x)-p(x)}\vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}x$. Die entsprechende Approximationseigenschaft gilt dann auch in der ${}L^{2}$-Norm. Die beschriebene Algebra ist also dicht in ${}C([0,T],{\mathbb {C} })\subseteq L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$. Nach Fakt ist die Algebra dann auch dicht in ${}L^{2}([0,T],{\mathbb {C} })$.

Zur bewiesenen Aussage