Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen

${}f_{m}f_{n}={\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }mx}\cdot {\frac {1}{\sqrt {T}}}e^{\omega {\mathrm {i} }nx}={\frac {1}{T}}e^{\omega {\mathrm {i} }(m+n)x}\,$

ist die Familie (bis auf den skalaren Vorfaktor) unter Multiplikation abgeschlossen. Daher sind die endlichen Linearkombinationen der ${}f_{n}$ auch multiplikativ abgeschlossen und bilden eine ${}{\mathbb {C} }$-Algebra, der Fall ${}n=0$ sichert, dass auch die Konstanten dazu gehören. Wegen

${}{\overline {f_{n}}}=f_{-n}\,$

ist die Algebra auch unter komplexer Konjugation abgeschlossen. Die Trennung ist allein schon durch die Funktion ${}e^{{\mathrm {i} }\omega x}$ gesichert.

Zur bewiesenen Aussage