Es sei
und
.
Es sei zunächst
und
.
Es geht um die Abbildung
-
Bei
handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also
.
Für hinreichend kleines besitzt das gleiche Vorzeichen wie , die Funktion kann man also für hinreichend klein als
-
schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in , der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall
und
ist völlig analog. Für
und
siehe den nächsten Teil.
Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dazu ist zu zeigen, dass für gegen konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung
-
Für einen Punkt , für den eine Koordinate gleich ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun
mit
.
Dann gibt es eine hinreichend kleine -Umgebung von derart, dass die Koordinaten der Punkte aus das gleiche Vorzeichen haben wie
bzw.
( liegt ganz im offenen Quadranten von ).
Auf ist
-
und daher ist in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.