Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt/Beweis
Beweis
(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Seien
und
.
Dann ist für jeden Vektor
und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der
Kern
davon trivial ist. Es sei also
so, dass die Nullabbildung ist. D.h.
für alle
.
Dann muss aber nach der Definition von
nicht ausgeartet
sein.
Wenn endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach
Fakt
bijektiv.