Bilinearform/pq/Standardform/Beispiel

Es seien ${}p,q,n$ natürliche Zahlen mit ${}p+q\leq n$. Wir betrachten auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$, die durch

$\left\langle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle :=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}\,$

gegeben ist. Sie hat den Typ ${}(p,q)$, und zwar ist die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p}$ positiv definit und die Einschränkung auf den Unterraum ${}\mathbb {R} e_{p+1}+\cdots +\mathbb {R} e_{p+q}$ negativ definit.