Binäre Ikosaedergruppe/Hilbert-Reihe/Grad 60/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt und Techniken, die auch im Beweis zur Formel von Molien verwendet werden. Sei dazu , das bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird, wobei eine Einheitswurzel

ist. Die Wirkungsweise dieses Elementes auf der -ten Stufe ist durch
gegeben

( seien die Linearformen zur gewählten Basis). Daher ist die Spur von durch

gegeben. Sei nun . Da die Ordnung von nach Aufgabe ein Teiler von ist, sind die sechzigste Einheitswurzeln. Bei ist diese Summe jeweils . Bei jedem anderen Gruppenelement ist nach Fakt und daher durchlaufen die Summanden von bis mehrfach sämtliche Potenzen von , so dass diese Summe ist und lediglich der Summand übrigbleibt. Die Summe der Spuren zu allen , , ist somit . Nach Fakt ist also .