Binäre Ikosaedergruppe/Realisierung in SL2C/Invariantenring/Beispiel

Mit Hilfe von Fakt und Fakt kann man direkt invariante Polynome für die binäre Ikosaedergruppe angeben. Ein Ikosaeder hat ${}12$ Ecken, ${}20$ Flächen und ${}30$ Kanten, wobei die Ecken, die Flächenmittelpunkte und die Kantenmittelpunkte die Halbachsenklassen bilden. Daher gibt es invariante Polynome ${}A,B,C$ vom Grad ${}12,20$ und ${}30$. Diese kann man mit einigem Rechenaufwand explizit ausrechnen, indem man explizit die Halbachsenklassen der reellen Ikosaedergruppe angibt (also beispielsweise alle zwölf Eckpunkte), diese ins Komplexe übersetzt und die zugehörigen Linearformen multipliziert. Unabhängig davon, ob diese Polynome explizit oder nicht vorliegen, kann man zeigen, dass diese den Invarianenring erzeugen, dass also ${}R^{G}={\mathbb {C} }[A,B,C]$ gilt. Sei dazu ${}P\in R^{G}$ invariant, das wir als homogen annehmen dürfen. Wir führen Induktion über den Grad, wobei der Grad ${}0$ der (triviale) Induktionsbeginn ist. Es sei ${}P$ homogen von positivem Grad und es sei

${}P=\prod _{j=1}^{s}{\left(d_{j}U-c_{j}V\right)}\,$

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren. Nach Fakt  (3) enthält die (nichtleere) Indexmenge eine volle Bahn der Operation der reellen Ikosaedergruppe auf ${}S^{2}$ bzw. ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$. Wenn diese Bahn eine Halbachsenklasse ist, so ist

${}P=HD\,$

mit ${}D=A,B$ oder ${}=C$. Wegen der Invarianz von ${}P$ und ${}D$ ist auch ${}H$ invariant. Nach Induktionsvoraussetzung ist also ${}H\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$. Wenn dagegen die Indexmenge keine Halbachsenklasse enthält, so enthält sie eine Bahn mit sechzig Elementen (aus $\sigma (P)=P$ für $\sigma \in I$ folgt, dass ${}P$ ein Halbachsenpunkt ist). Also ist

${}P=HD\,$

und ${}D$ ist invariant vom Grad ${}60$. Nach Fakt ist der Raum der invarianten Polynome vom Grad ${}60$ zweidimensional. Die Polynome ${}A^{5},B^{3},C^{2}$ erzeugen diesen Raum, da sie paarweise linear unabhängig sind, was daraus folgt, dass sie (in ${\mathbb {C} }[U,V]$) aus unterschiedlichen Linearfaktoren zusammengesetzt sind. Daher ist ${}D\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$ und dies gilt nach Induktionsvoraussetzung auch für ${}H$.

Weiterhin folgt aus der Zweidimensionalität der sechzigsten Stufe des Invariantenringes, dass eine Relation der Form

${}\alpha A^{5}+\beta B^{3}+\gamma C^{2}=0\,$

mit ${}\alpha ,\beta ,\gamma \neq 0$ vorliegen muss, was den Isomorphietyp des Ringes bereits bestimmt.

Wir geben noch die invarianten Polynome zu den Halbachsen an, und zwar geben wir homogene invariante Polynome vom Grad ${}12,20,30$ an, wobei wir die Invarianz nur exemplarisch überprüfen. Wir setzen

${}{\tilde {A}}=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\,,$

${}{\tilde {B}}=U^{20}-228U^{15}V^{5}+494U^{10}V^{10}+228U^{5}V^{15}+V^{20}\,$

und

${}{\tilde {C}}=U^{30}+522U^{25}V^{5}-10005U^{20}V^{10}-10005U^{10}V^{20}-522U^{5}V^{25}+V^{30}\,.$

Wenn man nachweist, dass diese Polynome invariant sind, so muss wegen ${}{\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}\in {\mathbb {C} }[A,B,C]$ und aus Gradgründen (bis auf Skalierung) ${}{\tilde {A}}=A$, ${}{\tilde {B}}=B$ und ${}{\tilde {C}}=C$ gelten. Die erzeugenden Matrizen

$E=-{\begin{pmatrix}\xi ^{3}&0\\0&\xi ^{2}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}$

(wobei ${}\xi$ eine primitive ${}5$-te komplexe Einheitswurzel sei) der binären Ikosaedergruppe wirken durch

$U\mapsto -\xi ^{3}U,\,V\mapsto -\xi ^{2}V$

bzw.

$U\mapsto {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\left((-\xi +\xi ^{4})U+(\xi ^{2}-\xi ^{3})V\right)},\,V\mapsto {\frac {1}{\sqrt {5}}}{\left((\xi ^{2}-\xi ^{3})U+(\xi -\xi ^{4})V\right)}.$

Es ist

${}{\begin{aligned}({\tilde {A}})E&=(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11})E\\&=(-\xi ^{33})(-\xi ^{2})U^{11}V+11(\xi ^{18}\xi ^{12})U^{6}V^{6}-(-\xi ^{3})(-\xi ^{22})UV^{11}\\&=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\end{aligned}}$

und (mit einer aufwändigen Rechnung)

${}{\begin{aligned}({\tilde {A}})F&=(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11})F\\&=U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}.\end{aligned}}$

Zwischen diesen invarianten Polynomen besteht, wie eine aufwändige Rechnung zeigt, die Beziehung

${}{\begin{aligned}{\tilde {C}}^{2}-{\tilde {B}}^{3}-1728{\tilde {A}}^{5}&={\left(U^{30}+522U^{25}V^{5}-10005U^{20}V^{10}-10005U^{10}V^{20}-522U^{5}V^{25}+V^{30}\right)}^{2}-{\left(U^{20}-228U^{15}V^{5}+494U^{10}V^{10}+228U^{5}V^{15}+V^{20}\right)}^{3}-1728{\left(U^{11}V+11U^{6}V^{6}-UV^{11}\right)}^{5}\\&=U^{55}V^{5}{\left(1044+684-1728\right)}+\ldots \\&=0.\end{aligned}}$

Dies überprüft man, indem man die Koeffizienten zu den Monomen ${}U^{5i}V^{5j}$, ${}i+j=12$, berechnet. Da diese Relation irreduzibel ist, liegt die Isomorphie

${}{\mathbb {C} }[U,V]^{BI}={\mathbb {C} }[{\tilde {A}},{\tilde {B}},{\tilde {C}}]/({\tilde {C}}^{2}-{\tilde {B}}^{3}-1728{\tilde {A}}^{5})\,$

vor. Nach Umbenennung und Streckung der Variablen ist dieser Ring isomorph zu ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$.