Die Matrizen
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wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von . Die
Ordnungen
dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
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also besitzt die Ordnung und die Ordnung . Mit
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ist
sodass die Ordnung von gleich ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit
oder
rechterhand multipliziert. Es ist
man kann also von rechts an vorbeischieben.
Wegen
kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen
kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen
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kann man sogar jedes Gruppenelement als
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schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte
mit
bilden nach
Beispiel
die
binäre Diedergruppe
der Ordnung , dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung aber auch eine Untergruppe der Ordnung
(die von erzeugte Untergruppe),
also muss ihre Ordnung sein
(und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben).
Es handelt sich also um eine Gruppe mit Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
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vor.