Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel

Wir betrachten die binomiale Gleichung ${}X_{1}\cdots X_{n}=1$. Die Nullstellenmenge ${}V=V(X_{1}\cdots X_{n}-1)$ besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich ${}1$ ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich ${}0$ sein. Die Jacobimatrix ist

$\left(X_{2}\cdots X_{n},\,X_{1}X_{3}\cdots X_{n},\,\ldots ,\,X_{1}\cdots X_{n-2}X_{n},\,X_{1}\cdots X_{n-1}\right)$

und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang ${}1$, es liegt also eine glatte Varietät vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu ${}K^{n-1}$ (bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$), doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische (rationale) Abbildung

${\left(K^{\times }\right)}^{n-1}\longrightarrow V,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1},\,{\frac {1}{x_{1}\cdots x_{n-1}}}\right).$

Dies kann man so verstehen, dass ${}V$ der Graph zur rationalen Funktion auf ${}{\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge

${}{\left(K^{\times }\right)}^{n-1}=K^{n-1}\setminus V(X_{1}\cdots X_{n-1})\subseteq K^{n-1}\,$

und der Zariski-abgeschlossenen Menge ${}V\subseteq K^{n}$ vor. Die Menge ${}{\left(K^{\times }\right)}^{n-1}$ nennt man auch den ${}(n-1)$-dimensionalen Torus.

Bei ${}n=2$ ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel.