Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition

Glatter Punkt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.