Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}0$ ein Punkt der durch das binomiale Polynom gegebenen Nullstellenmenge. Aufgrund der Voraussetzungen können wir das Polynom als ${}P=FX-GY$ mit verschiedenen Variablen ${}X,Y$ und Monomen ${}F,G$ schreiben, die keine Einheiten sind (in den ${}X$ bzw. ${}Y$ vorkommen kann). Die partiellen Ableitungen sind

${}\partial _{X}(P)=X\partial _{X}(F)+F-Y\partial _{X}(G)\,,$

${}\partial _{Y}(P)=X\partial _{Y}(F)-Y\partial _{Y}(G)-G\,$

und

${}\partial _{Z}(P)=X\partial _{Z}(F)-Y\partial _{Z}(G)\,$

(für jede weitere Variable ${}Z$), die alle im Nullpunkt verschwinden.

Zur bewiesenen Aussage