Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}0$ das kleinste Element von ${}I$. Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus

$h\colon F_{n}\longrightarrow F_{n-1}$

durch

${}h(e_{J}):={\begin{cases}e_{J\setminus \{0\}},\,{\text{ falls }}0\in J\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten

${}\delta \circ h+h\circ \delta =\operatorname {Id} \,.$

Es sei dazu ${}e_{K}$ gegeben. Bei ${}0\notin K$ ist

${}\delta (h(e_{K}))=0\,$

und

${}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\operatorname {ord} {\left(0,K\cup \{0\}\right)}e_{K}\end{aligned}}$

und bei ${}0\in K$ ist

${}{\begin{aligned}\delta {\left(h(e_{K})\right)}&=\delta {\left(e_{K\setminus \{0\}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus (K\setminus \{0\})}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+\operatorname {ord} {\left(0,K\right)}e_{K}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}e_{K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}}+e_{K}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}h{\left(\delta (e_{K})\right)}&=h{\left(\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}h{\left(e_{K\cup \{\ell \}}\right)}\\&=\sum _{\ell \in I\setminus K}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}e_{K\cup \{\ell \}\setminus \{0\}}.\end{aligned}}$

Da ${}0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\setminus \{0\}\cup \{\ell \}\right)}$ und ${}\operatorname {ord} {\left(\ell ,K\cup \{\ell \}\right)}$ um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

${}0=H(0)=H(\operatorname {Id} )=\operatorname {Id} \,$

und daher sind die Homologien trivial.

Zur bewiesenen Aussage