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Binomialverteilung/Varianzlemma/Unabhängigkeit/Fakt/Beweis
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Binomialverteilung/Varianzlemma/Unabhängigkeit/Fakt
Beweis
Es ist
P
(
x
,
y
)
=
P
(
x
)
⋅
P
(
y
)
.
{\displaystyle {}P(x,y)=P(x)\cdot P(y)\,.}
Somit ist
∑
x
∈
{
0
,
1
}
(
x
−
p
)
2
⋅
P
(
x
)
=
p
2
(
1
−
p
)
+
(
1
−
p
)
2
p
=
p
(
1
−
p
)
(
p
+
1
−
p
)
=
p
(
1
−
p
)
.
{\displaystyle {}\sum _{x\in \{0,1\}}(x-p)^{2}\cdot P(x)=p^{2}(1-p)+(1-p)^{2}p=p(1-p)(p+1-p)=p(1-p)\,.}
Es ist
∑
(
x
,
y
)
∈
{
0
,
1
}
×
{
0
,
1
}
(
x
−
p
)
(
y
−
p
)
⋅
P
(
x
,
y
)
=
p
2
(
1
−
p
)
(
1
−
p
)
−
2
p
(
1
−
p
)
p
(
1
−
p
)
+
(
1
−
p
)
(
1
−
p
)
p
2
=
0
.
{\displaystyle {}\sum _{(x,y)\in \{0,1\}\times \{0,1\}}(x-p)(y-p)\cdot P(x,y)=p^{2}(1-p)(1-p)-2p(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p^{2}=0\,.}
Zur bewiesenen Aussage
