Binomialverteilung/p/Gesetz der großen Zahlen/Über Varianz/Fakt/Beweis

Beweis

Bei einer ${}n$-fachen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes ist die relative Häufigkeit die Anzahl der positiven Ausgänge dividiert durch die Anzahl ${}n$ der Durchführungen. Wenn man für das Experiment den Bernoulli-Raum ${}\{0,1\}$ mit ${}P(1)=p$ ansetzt und die ${}n$-fache Hintereinanderausführung durch den Produktraum ${}\{0,1\}^{n}$ beschreibt, so ist die relative Häufigkeit gleich ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}$. Der Abstand zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist somit

$\vert {{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}-p}\vert .$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Abstand größer als ${}\epsilon$ ist, gibt es nach Fakt die Abschätzung

${}P{\left({\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \{0,1\}^{n}\mid \vert {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-p}\vert \geq \epsilon \right\}}\right)}\leq {\frac {p(1-p)}{n\epsilon ^{2}}}\,.$

Für ${}n$ hinreichend groß wird die rechte Seite beliebig klein.

Zur bewiesenen Aussage