Biquadratische Erweiterung/-15/Kähler-Differentiale/Unverzweigt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\,$

und

${}y={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,,$

die die Gleichungen ${}x^{2}+x+1=0$ bzw. ${}y^{2}-y-1=0$ erfüllen. Es sei ${}T=\mathbb {Z} [x,y]\subseteq S$. Wegen

${}z={\frac {1+{\sqrt {-15}}}{2}}=2xy-x-y+1\,$

ist ${}R\subseteq T$ und in ${}\Omega _{T{|}R}$ gilt

${}0=dz=d(2xy-x-y+1)=2xdy+2ydx-dx-dy=(2y-1)dx+(2x-1)dy\,.$

Wegen Aufgabe ist ${}3dx=0$ und ${}5dy=0$ in den entsprechenden quadratischen Erweiterungen von ${}\mathbb {Z}$ und damit erst recht in ${}\Omega _{T{|}R}$. Damit gilt auch ${}(10y-5)dx=0$ und ${}(6x-3)dy=0$. Wir haben ferner ${}(2x+1)dx=0$ und ${}(2y-1)dy=0$. Der Annullator von ${}dx$ enthält also ${}3,2x+1,10y-5$. Im Restklassenring zu diesem Annullator ist dann ${}x=1$ und ${}y=2$, woraus mit ${}y^{2}-y-1=0$ folgt, dass der Restklassenring der Nullring und der Annullator der ganze Ring ist. Also ist ${}dx=0$. Der Annullator zu ${}dy$ enthält ${}5,2x-1,2y-1$. Damit ist im Restklassenring zu diesem Annullator

${}x=y=3\,$

und aus

${}x^{2}+x+1=13=0\,$

folgt letztlich wieder ${}dy=0$.

Aus der Unverzweigtheit von ${}T$ über ${}R$ folgt, dass ${}T$ normal ist und daher schon der Zahlbereich ist.

Zur gelösten Aufgabe