Borel-Lebesgue-Maß/Topologische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Eigenschaft ist klar. Die zweite Eigenschaft folgt aus Fakt mit offenen Quaderüberpflasterungen.

Zum Nachweis von (3) können wir annehmen, dass endlich ist.

Wir betrachten die Durchschnitte

Da die Bälle den Raum ausschöpfen, konvergieren die Volumina nach Fakt  (5) gegen das von . Wir können also durch ersetzen (beispielsweise mit einer Maßabweichung von ) und dann annehmen, dass ist. Wir betrachten

Nach Teil (2) können wir das Volumen von beliebig gut durch offene Mengen von oben approximieren, von den wir ferner annehmen können, dass sie in liegen, sagen wir

mit

Dann ist

eine abgeschlossene Teilmenge von und die Volumenabweichung ist wie zuvor.