Brouwersche Fixpunktsatz/Stetig differenzierbar/Retraktion/Fakt/Beweis

Beweis

Zur Notationsvereinfachung sei ${}r=1$.  Nehmen wir an, dass es eine fixpunktfreie stetig differenzierbare Abbildung ${}\psi$ geben würde. Dann ist stets

${}x\neq \psi (x)\,,$

sodass die beiden Punkte eine Gerade definieren. Die Idee ist, mittels dieser Geraden einen (der beiden) Durchstoßungspunkt mit der Sphäre als Bildpunkt einer Retraktion auf den Rand zu nehmen. Mit der Hilfsfunktion

${}h(x)={\frac {\psi (x)-x}{\Vert {\psi (x)-x}\Vert }}\,$

definieren wir eine Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

durch

$\varphi (x)=x+{\left(-\left\langle x,h(x)\right\rangle +{\sqrt {1+\left\langle x,h(x)\right\rangle ^{2}-\Vert {x}\Vert ^{2}}}\right)}\cdot h(x)\,.$

Dabei ist der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Dies ist bei ${}\Vert {x}\Vert <1$ klar und bei ${}\Vert {x}\Vert =1$ liegt ein Punkt auf der Sphäre vor, dessen Verbindungsgerade mit dem Kugelpunkt ${}\psi (x)$ nicht senkrecht zu ${}x$ ist (der affine Tangentialraum zu einem Punkt der Sphäre trifft eine Kugel nur in einem Punkt), sodass

${}\left\langle x,h(x)\right\rangle \neq 0\,$

ist. Da die Quadratwurzel und der Betrag außerhalb des Nullpunktes stetig differenzierbar sind, handelt es sich bei ${}h(x)$ und bei ${}\varphi (x)$ um stetig differenzierbare Abbildungen. Die Abbildung ${}\varphi$ bildet nach Aufgabe die Kugel auf die Sphäre ab und ihre Einschränkung auf die Sphäre ist die Identität. Damit liegt eine stetig differenzierbare Retraktion der abgeschlossenen Vollkugel auf ihren Rand vor, was nach Fakt nicht sein kann.

Zur bewiesenen Aussage