Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt/Beweis

Beweis

Aus den definierenden Gleichungen des Divisionsalgorithmus ergibt sich sukzessive

{}{\begin{aligned}a&=z_{0}b+r_{0}\\&=z_{0}b+{\frac {10\cdot r_{0}}{10}}\\&=z_{0}b+{\frac {z_{-1}\cdot b+r_{-1}}{10}}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+r_{-1}10^{-1}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+10\cdot r_{-1}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+{\left(z_{-2}b+r_{-2}\right)}10^{-2}\\&=z_{0}b+z_{-1}\cdot 10^{-1}\cdot b+z_{-2}b10^{-2}+r_{-2}10^{-2}\end{aligned}}

und insgesamt

{}a=b{\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}\right)}+r_{-n}10^{-n}\,.

Division durch ${}b$ ergibt

{}{\frac {a}{b}}=\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{-i}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}={\left(\sum _{i=0}^{n}z_{-i}10^{n-i}\right)}10^{-n}+{\frac {r_{-n}}{b}}10^{-n}\,.

Dies stimmt mit den Festlegungen aus dem Verfahren überein, in dem die Dezimalbruchfolge zu ${}{\frac {a}{b}}$ definiert wurde.