Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe/Lösung

Zum Beweis der Existenz sei

${}z={\frac {a}{b}}\,$

mit ${}a\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ (sonst wäre die Zahl gleich ${}0$) und ${}b\in \mathbb {N} _{+}$. Wir schreiben die Zahlen in ihrer Primfaktorzerlegung, also

${}a=\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$

und

${}b=\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,,$

wobei wir annehmen dürfen, dass sich beide Produkte über die gleichen Primzahlen erstrecken (und manche Exponenten gleich ${}0$ sind). Dann ist unter der Verwendung von Potenzgesetzen

${}{\begin{aligned}z&={\frac {a}{b}}\\&={\frac {\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}}{\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}}}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\right)}^{-1}\\&=\pm {\left(\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\right)}{\left(\prod _{p}p^{-{\exp _{p}(b)}}\right)}\\&=\pm \prod _{p}p^{{\exp _{p}(a)}-{\exp _{p}(b)}}\end{aligned}}$

mit ${}{\exp _{p}(a)}-{\exp _{p}(b)}\in \mathbb {Z}$. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei

${}\pm \prod _{p}p^{r_{p}}=\pm \prod _{p}p^{s_{p}}\,$

mit ${}r_{p},s_{p}\in \mathbb {Z}$, wobei wir annehmen können, dass sich die Produkte über die gleiche endliche Menge von Primzahlen erstrecken. Das Vorzeichen muss links und rechts gleich sein, da eine negative rationale Zahl nicht mit einer positiven rationalen Zahl übereinstimmen kann. Wir können also annehmen, dass zwei positive Zahlen vorliegen. Wenn ein Exponent ${}r_{p}$ negativ ist, so können wir mit ${}p^{-r_{p}}$ beidseitig multiplizieren und erhalten so letztlich eine Gleichheit, in der nur noch nichtnegative Exponenten vorkommen und somit positive natürliche Zahlen dastehen. Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie

ergibt, dass dann die Exponenten übereinstimmen müssen. Wegen der Abziehregel müssen auch die ursprünglichen Exponenten gleich gewesen sein.

Zur gelösten Aufgabe