COVID-19/Mathematische Modellierung/Exponentielles Wachstum

Wie starten die Lernressource mit einer verbalen Beschreibung eine Wachtumsprozesses und gehen dann auf die mathematische Modellierung durch die Exponentialfunktion ein. Dananch behandeln wie die Grenzen der epidemiologischen Modellierung durch exponentielles Wachstums im Kontext des logistischen Wachstums.

Graph der Exponentialfunktion $y=e^{x}$ (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Die Zahl der Neuninfektionen verdoppelt sich alle 4 Tage.

Aufgabe für Lernende

• Erläutern Sie den Unterschied zwischen
  • Anzahl der Infizierten und
  • der Anzahl der Neuinfizierten

mathematisch. Welche Unterschiede ergeben sich daduch aus der Darstellung der Funktion bzw. der Ableitung der Funktion.

• Interaktive Aufgabe zur Darstellung und Prognose der COVID-19-Ausbreitung in der VR China im Januar 2020
• Interaktive Aufgabe zur Darstellung und Prognose der COVID-19-Ausbreitung in Deutschland bis zum 31.3.2020
• Interaktive Aufgabe zur Berechnung der Verdopplung der Zahl der mit COVID-19-Infizierten in Deutschland im März 2020
• Interaktive Aufgabe zur Darstellung der COVID-19-Ausbreitung in Deutschland durch eine logistische Funktion
• Vergleichen Sie das exponentielle Wachstum mit dem logistischen Wachstum und erläutern Sie, welche Rolle die Immunisierung der Bevölkerung auf das epidemioligische Wachstum hat.

Wertetabelle

Zunächst erzeugen wir eine Wertetabelle:

Tag $t$	Anzahl der Infizierten	Exponentielle Darstellung	Neuinfektionen nach 4 Tagen
0	1	$2^{0}$	-
4	2	$1\cdot 2=2^{1}$	$1=2^{0}$
8	4	$2\cdot 2=2^{2}$	$2=2^{1}$
12	8	$4\cdot 2=2^{3}$	$4=2^{2}$
16	16	$16\cdot 2=2^{4}$	$8=2^{3}$
20	32	$32\cdot 2=2^{5}$	$16=2^{4}$
24	64	$64\cdot 2=2^{6}$	$32=2^{5}$

Wenn man nun in Abhängigkeit vom Tag die Anzahl der Infizierten als eine Funktion darstellen möchte, so kann man diese Funktion $f:\mathbb {R_{0}^{+}} \to \mathbb {R} ^{+}$ wie folgt definieren.

$f(t):=2^{{\frac {1}{4}}\cdot t}=e^{{\frac {ln(2)}{4}}\cdot t}$ mit$t\in \mathbb {R_{0}^{+}}$,

wobei $t\in \mathbb {R_{0}^{+}}$ die Zeitspanne von dem Tag $0$ der Erstinfektion beschreibt. Die Funktion $f:\mathbb {R_{0}^{+}} \to \mathbb {R} ^{+}$ interpoliert die Punkte.

Startpopulation

Datenerhebung beginnt ggf. mit einer Startpopulation (z.B. 1000 Personen), dann verändert sich die Tabelle wie folgt.

Tag $t$	Anzahl der Infizierten	Exponentielle Darstellung	Neuinfektionen nach 4 Tagen
0	1000	$2^{0}$	-
4	2000	$1000\cdot 2=1000\cdot 2^{1}$	$1000$
8	4000	$2000\cdot 2=1000\cdot 2^{2}$	$2000=1000\cdot 2^{1}$
12	8000	$4000\cdot 2=1000\cdot 2^{3}$	$4000=1000\cdot 2^{2}$
16	16000	$16000\cdot 2=1000\cdot 2^{4}$	$8000=1000\cdot 2^{3}$
20	32000	$32000\cdot 2=1000\cdot 2^{5}$	$16000=1000\cdot 2^{4}$
24	64000	$64000\cdot 2=1000\cdot 2^{6}$	$32000=1000\cdot 2^{5}$

Wenn man nun in Abhängigkeit von der Starpolution in die Funktion integrieren möchte, so kann man diese Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ wie folgt definieren.

$f(t):=1000\cdot 2^{{\frac {1}{4}}\cdot t}=1000\cdot e^{{\frac {ln(2)}{4}}\cdot t}$ mit$t\in \mathbb {R}$,

wobei $t\in \mathbb {R}$ den Zeitspanne bezeichnet, die seit dem Tag $0$ der mathematischen Modellierung mit der gewählten Startpopulation $s_{0}\in \mathbb {R} ^{+}$ beschreibt. In diesem Zusammenhang macht es ebenfalls inhaltliche Sinn, negative Zahlen für den Zeitpunkt $t\in \mathbb {R} ^{-}$ zuzulassen. Z.B. wie viele Infizierte gab es 4 Tage vor dem Referenztag $t=0$, die Berechnung kann man sich inhaltlich erschließen, denn die Anzahl der Infizierten verdoppelt sich alle 4 Tage und dann muss die Population bei einer Startpopulation von $s_{0}=1000$ 4 Tage vorher 500 Infizierte gehabt haben. Funktional kann man das wie folgt beschreiben:

$f(-4):=1000\cdot 2^{{\frac {-4}{4}}\cdot t}=1000\cdot 2^{-1}=500$ mit$t\in \mathbb {R}$.

Insgesamt kann man das exponentielle Wachstum damit für die epidemiologische Ausbreitung wie folgt beschreiben:

$f(t):=s_{0}\cdot 2^{{\frac {1}{4}}\cdot t}=s_{0}\cdot e^{{\frac {ln(2)}{4}}\cdot t}$ mit $t\in \mathbb {R}$,

Bei einer allgemeinen Darstellung der textlichen Beschreibung

Die Zahl der Neuninfektionen ver-$n$-fach sich alle $d$ Tage.

folgende Darstellung durch eine Exponentialfunktion festhalten,

$f(t):=s_{0}\cdot n^{{\frac {1}{d}}\cdot t}=s_{0}\cdot e^{{\frac {\ln(n)}{d}}\cdot t}$

• mit $t\in \mathbb {R}$,
• $d\in \mathbb {R} ^{+}$ definiert das Zeitintervall in der sich die Zahl der Infizierten vervielfacht
• $n\in \mathbb {R} ^{+}$ beschreibt die Faktor, mit der sich die Anzahl der Infizierten pro Zeitintervall $d$ vervielft.

Neuinfektion und Zahl der Infizierten

Der Begriff "Neuinfektion" bezieht sich aber nicht auf die absolute Anzahl der im Land identifizierten COVID-19-Patienten, sondern die nachgewiesenen Neuinfektionen geben ein Hinweis darauf, wie der Anstieg der Funktion zum Zeitpunkt $t\in \mathbb {R}$ berechnet werden kann. Daher betrachtet man die Ableitung der Funktionsterms für die Anzahl der Infizierten in einer Population.

Vergleich exponentielles Wachstum - logistisches Wachstum

In der Schule haben Sie vielleicht Kontakt zu exponentielles Wachstum. Epidemiologisch gesehen geht das Modell des exponentiellen Wachstums davon aus, dass es keine Grenzen des Wachstums gibt. Tatsächlich ist für die Epidemiologie das Maximum der infizierten Menschen durch die Gesamtbevölkerung gegeben. Betrachtet man die anderen biologischen Wachstumsprozesse (z.B. cell division), so gibt es auch Grenzen des Wachstums (z.B. Grenzen der Ressourcen, Grenzen des Raumes, ...). Das logistisches Wachstum schließt eine Kapazität in die Modellierung ein. Eine logistische Funktion oder logistische Kurve ist eine übliche "S"-Form (sigmoid curve), mit der Gleichung:

$f(x)={\frac {M}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}$

wobei

• $e$ = die Basis der Exponentialfunktion, die auch als Eulersche Zahl) bekannt ist,
• $x_{0}$ = der $x$-Wert des Wendepunkts, der in der Epidemiologie der Zeitpunkt mit der maximalen Wachstumsrate (Maximalwert der Ableitung) ist.
• $M$ = die kleinste obere Schranke der Funktionswerte (Supremum der Menge $M:=\sup _{x\in \mathbb {R} }f(x)$. Kapazität des logistischen Wachstums der Kurve (die Kapazität des Wachstums), und
• $k$ = die logistische Wachstumsrate oder Steilheit der Kurve.