C nach C/Holomorphe Abbildung/Hauptdivisor/Periode/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten ${}X={\mathbb {C} }$ und die rationale Funktion

${}f(z)={\frac {z}{z-1}}\,,$

derer Hauptdivisor gleich ${}1\cdot \{0\}-1\cdot \{1\}$ ist. Wir nehmen die Differentialform ${}\omega =dz$ und den linearen Verbindungsweg ${}\gamma$ von ${}1$ nach ${}0$, also

${}\gamma (t)=1-t\,$

für ${}t\in [0,1]$. Dann ist

${}\int _{\gamma }dz=\int _{0}^{1}\gamma '(t)dt=\int _{0}^{1}-1=-1\,.$

dagegen ist die Periodengruppe zu ${}\omega$ trivial, da die Fundamentalgruppe von ${}{\mathbb {C} }$ trivial ist.

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