Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Nullfolgenideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Summe von zwei Nullfolgen ist nach Fakt  (1) wieder eine Nullfolge. Es sei nun ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in C$ eine beliebige Folge aus ${}C$, also eine Cauchy-Folge. Nach Fakt ist somit ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt und daher ist nach Fakt das Produkt ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\cdot {\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wieder eine Nullfolge.

Zur bewiesenen Aussage