Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt

Der Satz von Cayley-Hamilton

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Es sei

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,$

das charakteristische Polynom zu ${}M$.

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen