Wir fassen die Matrix
als eine Matrix auf, deren Einträge im
Körper
liegen. Die
adjungierte Matrix
-
liegt ebenfalls in
. Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
Determinanten
von
-Untermatrizen von
. In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable
maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
-ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
-

mit Matrizen
-

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in
und fasst dann die Koeffizienten zu
zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Fakt
gilt

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von
aufteilen, dann ist
-

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
-
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
und erhalten das Gleichungssystem
-
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
. Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir
, da jeder Teilsummand
einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist

.