Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im
Körper
liegen. Die
adjungierte Matrix
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liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
Determinanten
von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
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mit Matrizen
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d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Fakt
gilt
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist
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Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
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Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem
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Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
.