Charaktergruppe/Charakter-Korrespondenz mit Kernen/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung

$E\longmapsto E^{\perp }={\left\{\chi \in D^{\vee }\mid \chi (d)=1{\text{ für alle }}d\in E\right\}},$

die einer Untergruppe von ${}D$ eine Untergruppe von ${}D^{\vee }$ zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.

b) Unter der kanonischen Abbildung

$D\longrightarrow (D^{\vee })^{\vee },\,d\longmapsto (\operatorname {ev} _{d}:\chi \mapsto \chi (d)),$

ist ${}\operatorname {ev} _{d}(E)\subseteq (E^{\perp })^{\perp }$.

c) Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}m$-te primitive Einheitswurzel enthält, wobei ${}m$ der Exponent von ${}D$ sei. Zeige, dass dann ${}\operatorname {ev} _{d}(E)=(E^{\perp })^{\perp }$ gilt.

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