Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel

Zur Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&5\\-3&4\end{pmatrix}}\,$

ist das charakteristische Polynom gleich

${}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-2&-5\\3&X-4\end{pmatrix}}=(X-2)(X-4)+15=X^{2}-6X+23\,.$

Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung

${}(X-3)^{2}=-23+9=-14\,,$

die über ${}\mathbb {R}$ nicht erfüllbar ist, so dass die Matrix über ${}\mathbb {R}$ keine Eigenwerte besitzt. Über ${}{\mathbb {C} }$ hingegegen gibt es die beiden Eigenwerte ${}3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ und ${}3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$. Für den Eigenraum zu ${}3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }$ muss man

${}{\begin{aligned}\operatorname {Eig} _{3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}&=\operatorname {kern} {\left({\left(3+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\right)}E_{2}-M\right)}\\&=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist ${}{\begin{pmatrix}5\\1+{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$. Analog ist

${}\operatorname {Eig} _{3-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }}{\left(M\right)}=\operatorname {kern} {\begin{pmatrix}1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }&-5\\3&-1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}=\langle {\begin{pmatrix}5\\1-{\sqrt {14}}{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\rangle \,.$