Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Lemma von Bezout gibt es Polynome ${}S,T\in K[T]$ mit

${}SP+TQ=1\,.$

Es sei ${}U=\operatorname {kern} P(\varphi )$ und ${}W=\operatorname {kern} Q(\varphi )$. Es sei ${}v\in V$. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist

${}0=\chi _{\varphi }(\varphi )=(P(\varphi )\circ Q(\varphi ))(v)=P(\varphi )(Q(\varphi )(v))\,$

und somit gehört das Bild von ${}Q(\varphi )$ zum Kern von ${}P(\varphi )$ und umgekehrt. Aus

${}{\begin{aligned}v&=\operatorname {Id} _{V}(v)\\&=(SP+TQ)(\varphi )(v)\\&=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))\\&=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\end{aligned}}$

kann man ablesen, dass der linke Summand zu ${}\operatorname {bild} P(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} Q(\varphi )$ und der rechte Summand zu ${}\operatorname {bild} Q(\varphi )\subseteq \operatorname {kern} P(\varphi )$ gehört. Es liegt also eine Summenzerlegung vor, die direkt ist, da aus ${}P(\varphi )(v)=Q(\varphi )(v)=0$ sofort ${}v=0$ folgt. Für die ${}\varphi$-Invarianz der Räume siehe Aufgabe. Zu ${}v\in \operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist

${}v=S(\varphi )(P(\varphi )(v))+T(\varphi )(Q(\varphi )(v))=S(\varphi )(P(\varphi )(v))=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,,$

d.h. es gilt ${}\operatorname {bild} P(\varphi )=\operatorname {kern} Q(\varphi )$ und somit ist die Einschränkung von ${}P(\varphi )$ auf den Kern von ${}Q(\varphi )$ surjektiv, also bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage