Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Zerlegung/Direkte Summe/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei

${}\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

Dann gilt die direkte Summenzerlegung

${}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,,$

wobei diese Räume ${}\varphi$-invariant sind. Die Einschränkung von ${}P(\varphi )$ auf den ${}\operatorname {kern} Q(\varphi )$ ist bijektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen