Chevalley-Shephard-Todd/Spiegelungsgruppe/Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten das Ideal ${}I_{G}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das von allen homogenen invarianten Polynomen positiven Grades erzeugt wird. Es sei ${}I_{G}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein homogenes minimales Erzeugendensystem für dieses Ideal. Aufgrund von Fakt bilden diese ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$. Wir zeigen, dass die ${}f_{i}$ algebraisch unabhängig sind und nehmen an, dass ${}g(f_{1},\ldots ,f_{m})=0$ ist mit ${}g\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$, ${}g\neq 0$, ist. Sei dabei ${}g$ von minimalem Grad.

Das Monom ${}Y^{\nu }$ aus ${}g$ wird nach Einsetzen zu ${}f^{\nu }$, was ein homogenes Polynom vom Grad ${}\sum _{i}\nu _{i}\operatorname {grad} \,(f_{i})$ ist. Wir können daher annehmen, dass alle Monome, die in ${}g(f_{1},\ldots ,f_{m})$ vorkommen, den gemeinsamen Grad ${}d$ haben (die Monome, die zu einem anderen Grad führen, werden einfach weggelassen).

Wir betrachten

${}g_{i}:={\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}(f_{1},\ldots ,f_{m})\,,$

die zum Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ gehören. Die ${}g_{i}$ sind ${}0$ oder sie haben den Grad ${}d-\operatorname {grad} \,(f_{i})$. Da ${}g(y_{1},\ldots ,y_{m})$ nicht konstant ist, ist

${}{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}}{\left(y_{1},\ldots ,y_{m}\right)}\neq 0\,$

für zumindest ein ${}i$, da wir Charakteristik ${}0$ voraussetzen. Dann muss auch ${}g_{i}\neq 0$ für ein ${}i$ sein, da ${}g$ nach Annahme minimalen Grad besitzt.

Wir betrachten das Ideal ${}J=(g_{1},\ldots ,g_{m})\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, und sei nach Umnummerierung ${}k$ (${}\geq 1$) so gewählt, dass

${}J=(g_{1},\ldots ,g_{k})\,$

ist, aber keine echte Teilmenge davon dieses Ideal erzeugt. Für ${}i>k$ schreiben wir

${}g_{i}=\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\,,$

wobei ${}h_{ij}=0$ ist oder aber homogen vom Grad ${}\operatorname {grad} \,(g_{i})-\operatorname {grad} \,(g_{j})=\operatorname {grad} \,(f_{j})-\operatorname {grad} \,(f_{i})$. Es folgt

${}{\begin{aligned}0&={\frac {\partial }{\partial x_{s}}}{\left(g{\left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{i=k+1}^{m}{\left(\sum _{j=1}^{k}h_{ij}g_{j}\right)}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}\\&=\sum _{i=1}^{k}g_{i}{\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}{\left(h_{ji}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Wegen ${}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{k})$ gehört für jedes ${}s$ das homogene Element

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}$

nach Fakt zu ${}I_{G}$. Daraus ergibt sich durch Multiplikation mit ${}x_{s}$

${}{\begin{aligned}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{s}}}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}\sum _{s=1}^{n}x_{s}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{s}}}&=(\operatorname {grad} \,(f_{1}))f_{1}+\sum _{j=k+1}^{m}h_{j1}{\left(\operatorname {grad} \,(f_{j})\right)}f_{j}\\&\in (x_{1},\ldots ,x_{n})I_{G}\\&\subseteq {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}.\end{aligned}}$

Die hinteren Summanden in diesem Polynom gehören zu ${}(f_{2},\ldots ,f_{m})$, daher ist

$f_{1}\in {\left(x_{1}f_{1},\ldots ,x_{n}f_{1}\right)}+{\left(f_{2},\ldots ,f_{m}\right)}.$

Aus Gradgründen ist ${}f_{1}\in (f_{2},\ldots ,f_{m})$, was ein Widerspruch zur Minimalität des Idealerzeugendensystems von ${}I_{G}$ ist.

Zur bewiesenen Aussage

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