Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Reflektionsgruppe. Es sei ${}I_{G}$ das Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, das durch die homogenen Invarianten von einem positiven Grad erzeugt wird. Es gelte

${}g_{1}h_{1}+\cdots +g_{m}h_{m}=0\,,$

wobei die ${}h_{1},\ldots ,h_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ homogene Polynome und die ${}g_{1},\ldots ,g_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ invariante Polynome seien.

Dann ist ${}h_{1}\in I_{G}$ oder ${}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen