Reflektionsgruppe/Hilbert-Ideal/Alternative/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad von ${}h_{1}$. Bei ${}h_{1}=0$ gehört natürlich ${}h_{1}$ zu ${}I_{G}$. Für ${}h_{1}\neq 0$ und ${}\operatorname {grad} \,(h_{i})=0$ ist ${}g_{1}\in (g_{2},\ldots ,g_{m})$. Es sei also ${}\operatorname {grad} \,(h_{1})\geq 1$ und die Aussage für kleineren Grad bewiesen. Es sei ${}g_{1}\notin (g_{2},\ldots ,g_{m})$ vorausgesetzt und es sei ${}\sigma \in G$ eine Pseudoreflektion. Dann ist

${}\sum _{i=1}^{m}g_{i}\cdot (h_{i}\sigma )={\left(\sum _{i=1}^{m}g_{i}h_{i}\right)}\sigma =0\sigma =0\,.$

Nach Fakt kann man

${}h_{i}\sigma =h_{i}+L_{\sigma }\cdot {\widetilde {h}}_{i}\,$

schreiben, wobei ${}L_{\sigma }$ eine beschreibende Linearform des Fixraumes zu ${}\sigma$ ist und ${}{\widetilde {h}}_{i}$ einen kleineren Grad als ${}h_{i}$ besitzt. Wir schreiben die obige Gleichung als

${}0=\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\left(h_{i}+L_{\sigma }{\widetilde {h}}_{i}\right)}=L_{\sigma }\sum _{i=1}^{m}g_{i}{\widetilde {h}}_{i}\,.$

Daher ist die Summe rechts gleich ${}0$ und nach Induktionsvoraussetzung ist ${}{\widetilde {h}}_{1}\in I_{G}$, also auch ${}h_{1}\sigma -h_{1}={\widetilde {h}}_{1}L_{\sigma }\in I_{G}$.

Es sei nun ${}\tau =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\in G$ ein Produkt von Pseudoreflektionen. Dann ist

${}{\begin{aligned}h_{1}\tau -h_{1}&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}\cdots \sigma _{k}-h_{1}\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}{\left(h_{1}\sigma _{i}-h_{1}\right)}{\left(\sigma _{i+1}\cdots \sigma _{k}\right)}.\end{aligned}}$

Da ${}h_{1}\sigma _{i}-h_{1}$ zu ${}I_{G}$ gehört und ${}I_{G}$ unter ${}G$ invariant ist, gehört auch ${}h_{1}\tau -h_{1}$ zu ${}I_{G}$. Mit dem Reynolds-Operator ${}\rho$ ist

${}\rho (h_{1})-h_{1}={\left({\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}h_{1}\tau \right)}-h_{1}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\tau \in G}{\left(h_{1}\tau -h_{1}\right)}\,.$

Dies gehört zu ${}I_{G}$ und wegen ${}\rho (h_{1})\in I_{G}$ ist auch ${}h_{1}\in I_{G}$.

Zur bewiesenen Aussage