Dachprodukt/Basiswechsel/Umrechnung/Bemerkung

Zu Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{m}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$ mit den Beziehungen

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\,$

erhält man zwischen den Basen

$v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m\,\,{\text{ und }}\,\,w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

des ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

$v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\,$

Dies beruht gemäß Fakt  (4) auf

${}{\begin{aligned}v_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{j_{n}}&={\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{1}}w_{i}\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij_{n}}w_{i}\right)}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{s=1}^{n}a_{i_{s}j_{\pi (s)}}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}.\end{aligned}}$