Es sei
ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Dann gelten für die
äußeren Potenzen
folgende Aussagen.
- Die Elemente der Form
mit
bilden ein
Erzeugendensystem
von
.
- Die Abbildung
-
ist
multilinear
und
alternierend.
- Es ist
-
![{\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge w\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}=-v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17dc0fb067145519b76c19f025b6f58827313f5e)
- Es seien
gegeben und seien
-
![{\displaystyle {}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}u_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0d0358ddd8ecab116af7e49b51d30bba2a3b90)
für
. Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m\}^{n}}{\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c7de2e73f5f77891c330ba64ef55336bde03ae)