Dachprodukt/Kanonische Abbildung zu linearer Abbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es seien ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ gegeben und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ Urbilder davon, also ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$. Dann ist

${}{\left(\bigwedge ^{n}\varphi \right)}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})=w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Nach Fakt  (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass ${}V$ und ${}W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Fakt.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem ${}u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$ mit ${}u_{i}\in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.

Zur bewiesenen Aussage