Darstellungen der etalen Fundamentalgruppe/Etale trivialisierbar/Lange-Stuhler/Fakt

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende projektive Varietät über einem Körper ${}K$ und sei ${}\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)$ die zugehörige étale Fundamentalgruppe. Dann sind für ${}r\in \mathbb {N}$ folgende Strukturen äquivalent (jeweils bis auf Isomorphie).

1. Eine stetige Darstellung

   $\rho \colon \pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}.$

2. Eine galoissche Überlagerung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ mit einer Galoisgruppe ${}H$, die äquivariant, treu und linear auf ${}{\mathbb {A} }_{Y}^{r}=Y\times {\mathbb {A} }^{r}$ operiert.
3. Ein Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}r$ auf ${}X$ zusammen mit einer galoisschen Überlagerung ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ derart, dass ${}\varphi ^{*}E$ trivial ist (aber für keine galoissche Überlagerung, die echt dazwischen liegt, trivial wird).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen