Darstellungen der etalen Fundamentalgruppe/Etale trivialisierbar/Lange-Stuhler/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten zuerst die Äquivalenz von (1) und (2). Die stetige Darstellung ${}\rho$ faktorisiert durch eine endliche Untergruppe ${}H\subseteq \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}$. Somit ist ${}H$ eine endliche Restklassengruppe der étalen Fundamentalgruppe. Also gibt es aufgrund der Konstruktion der étalen Fundamentalgruppe eine galoissche Überlagerung

$\varphi \colon Y\longrightarrow X,$

deren Galoisgruppe gleich ${}H$ ist (mit ${}X$ als Quotient). Mittels ${}\rho$ definieren wir eine Operation von ${}H$ auf ${}Y\times {\mathbb {A} }^{r}$ durch

$h(y,w)=(hy,\rho (h)w).$

Diese Operation ist linear in der zweiten Komponente und treu, da ja ${}H$ als Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe gegeben ist. Ferner ist die Operation mit der Operation von ${}H$ auf ${}Y$ verträglich, da ja in der ersten Komponente die Operation von ${}H$ auf ${}Y$ steht.

Wenn umgekehrt eine Operation von ${}H$ auf ${}Y\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}$ gegeben ist, die in der zweiten Komponente linear ist, so führt diese Operation von ${}H$ auf ${}{\mathbb {A} }^{r}$ zu einem Gruppenhomomorphismus

$H\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}.$

Diese Abbildung induziert die Darstellung

$\rho :\pi _{1}^{\rm {{\acute {e}}t}}(X,x)\longrightarrow H\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)}.$

Man beachte, dass die Eigenschaften von ${}Y$, projektiv und zusammenhängend zu sein, sicher stellen, dass die Treuheit der Operation eine Eigenschaft der Isomorphiekklasse der Operation ist (dies muss für affines ${}Y$ nicht gelten, siehe Fakt).

Die Äquivalenz von (2) und (3) ist ein Spezialfall des treuflachen Abstiegs. Man beachte, dass die Vektorbündelstruktur auf dem absteigenden Schema sich in den Abstiegsdaten darin wiederspiegelt, dass der Schemaisomorphismus ein Vektorbündelisomorphismus ist, bzw. darin, dass die Gruppenoperation linear ist.

Zur bewiesenen Aussage