Dedekind-Peano-Axiome/Zählen/Isomorphieprinzip/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass je zwei Modelle für die Dedekind-Peano-Axiome „isomorph“ sind, dass es also zwischen ihnen eine strukturerhaltende Bijektion gibt. Man stelle sich beispielsweise einerseits das Strichmodell, andererseits das Dezimalzahlmodell der natürlichen Zahlen vor, die beide mit ihren Nullen und ihrer Nachfolgerabbildung die Dedekind-Peano-Axiome erfüllen. Dann gibt es bereits, und zwar allein aufgrund der Tatsache der Dedekind-Peano-Axiome, eine eindeutige Entsprechung zwischen diesen beiden Mengen. Eine Strichfolge entspricht also eindeutig einer Zahl im Dezimalsystem.

	Strichsystem	Zehnersystem	Dreiersystem	Eurosystem
	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
	${}{|}$	${}1$	${}1$	${}1$
	${}{|}{|}$	${}2$	${}2$	${}10$
	${}{|}{|}{|}$	${}3$	${}10$	${}11$
	${}{|}{|}{|}{|}$	${}4$	${}11$	${}20$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}5$	${}12$	${}100$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}6$	${}20$	${}101$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}7$	${}21$	${}110$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}8$	${}22$	${}111$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}9$	${}100$	${}120$
	${}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}{|}$	${}10$	${}101$	${}1000$

Die Entsprechung in der Tabelle entsteht dadurch, dass man in jeder Spalte unabhängig voneinander im jeweiligen System (gleichschnell) zählt.

Satz

Es seien ${}(N_{1},0_{1},\prime )$ und ${}(N_{2},0_{2},\star )$ Modelle für die natürlichen Zahlen.

Dann gibt es genau eine (bijektive) Abbildung

$\varphi \colon N_{1}\longrightarrow N_{2},$

die das Zählen (also die ${}0$ und die Nachfolgerabbildung) respektiert.

Beweis

Da die Abbildung ${}\varphi$ insbesondere die Null respektieren soll, muss

${}\varphi (0_{1})=0_{2}\,$

sein. Da die Abbildung die Nachfolgerabbildungen respektieren soll, gilt generell

${}\varphi (x^{\prime })=(\varphi (x))^{\star }\,$

für alle ${}x\in N_{1}$. Speziell gilt

${}\varphi (0_{1}^{\prime })={\left(\varphi (0_{1})\right)}^{\star }=0_{2}^{\star }\,.$

Aus dem gleichen Grund muss unter Verwendung des schon Bewiesenen

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime }\right)}=\varphi {\left((0_{1}^{\prime })^{\prime }\right)}={\left(\varphi (0_{1}^{\prime })\right)}^{\star }={\left(0_{2}^{\star }\right)}^{\star }=0_{2}^{\star \star }\,.$

Ebenso muss

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star }\,,$

${}\varphi {\left(0_{1}^{\prime \prime \prime \prime }\right)}=0_{2}^{\star \star \star \star }\,,$

u.s.w gelten. Hier hat man keine Wahlmöglichkeiten, alles ist durch die Nachfolgereigenschaft bestimmt. Da jedes Element ${}\neq 0_{1}$ aus ${}N_{1}$ von ${}0_{1}$ aus durch die Nachfolgerabbildung ${}\prime$ schließlich und genau einmal erreicht wird, ist dies eine wohldefinierte Abbildung von ${}N_{1}$ nach ${}N_{2}$.

Zum Nachweis der Surjektivität betrachten wir die Menge

${}T={\left\{y\in N_{2}\mid {\text{ Es gibt }}x\in N_{1}{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$

Wir müssen zeigen, dass

${}T=N_{2}\,$

ist. Dazu wenden wir das Induktionsaxiom für ${}N_{2}$ an. Wegen

${}\varphi (0_{1})=0_{2}\,$

gehört ${}0_{2}\in T$. Wenn ${}y\in T$ ist, so ist also

${}y=\varphi (x)\,$

für ein ${}x\in N_{1}$. Wegen der Verträglichkeit mit der Nachfolgerabbildung ist

${}y^{\star }=\varphi (x^{\prime })\,,$

d.h. auch ${}y^{\star }\in T$. Daher ist ${}T$ unter dem Nachfolger abgeschlossen und nach dem Induktionsaxiom ist also ${}T=N_{2}$. Zum Nachweis der Injektivität seien ${}x,{\tilde {x}}\in N_{1}$ verschieden. und zwar sei ${}{\tilde {x}}$ ein (direkter oder) höherer Nachfolger von ${}x$. Dann ist ${}\varphi ({\tilde {x}})$ der entsprechende Nachfolger von ${}\varphi (x)$ und insbesondere davon verschieden (siehe Aufgabe), da das Nachfolgernehmen in ${}N_{2}$ injektiv ist.

$\Box$

Es gibt also im Wesentlichen, d.h. wenn man von den Benennungen absieht, genau eine Menge von natürlichen Zahlen. Für das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Modell der Dedekind-Peano-Axiome verwenden wir das Symbol ${}\mathbb {N}$ und sprechen von den natürlichen Zahlen.