Dedekindbereich/Divisoren/Einführung/Textabschnitt

Die Menge der effektiven Divisoren zu einem Dedekindbereich bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten ${}n_{\mathfrak {p}}$ alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus ${}R$, sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper ${}Q(R)$, definiert ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Für einen diskreten Bewertungsring lässt sich die Ordnung ${}\operatorname {ord} \colon R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N}$, ${}q\longmapsto \operatorname {ord} (q)$, zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen,

$\operatorname {ord} \colon Q(R)\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \operatorname {div} {\left(q\right)},$

siehe Aufgabe, wobei sich die Eigenschaften von Fakt hierher übertragen.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Wenn man die rationale Funktion ${}q\in Q(R)$ als ${}q={\frac {f}{g}}$ mit ${}f,g\in R$ ansetzt, so gilt

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}-\operatorname {div} {\left(g\right)}\,,$

da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei

${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)<0\,$

sagt man auch, dass ${}q$ einen Pol an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ besitzt, und zwar mit der Polordnung ${}-\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(q)$.

Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit ${}\operatorname {Div} {\left(R\right)}$ bezeichnen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$, und seien ${}q,q_{1},q_{2}\in Q(R)\setminus \{0\}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}q_{2}\right)}=\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)}+\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}$.
2. Es ist ${}\operatorname {div} {\left(q_{1}+q_{2}\right)}\geq \min\{\operatorname {div} {\left(q_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(q_{2}\right)}\}$.
3. Es ist ${}q\in R$ genau dann, wenn der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(q\right)}$ effektiv ist.
4. Zu jedem Divisor ${}D$ gibt es ein ${}h\in R$ derart, dass ${}D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$ effektiv ist.

Beweis

Für (1) und (2) siehe Aufgabe, für (3) siehe Aufgabe, für (4) siehe Aufgabe.

$\Box$

Es liegt also insbesondere ein Gruppenhomomorphismus

${\left(Q(R)\right)}^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)},\,q\longmapsto \operatorname {div} {\left(q\right)},$

vor. Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit ${}H$ bezeichnen.