Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}K$, ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}L$. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Primideal von ${}R$.

Dann stimmen in der Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,$

die Exponenten ${}e_{i}$ überein und ebenso stimmen die Trägheitsgrade ${}f_{i}$ überein. Dabei ist

${}n=kef\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen