Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ Primideale oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$. Nach Fakt gibt es einen Automorphismus ${}\sigma \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit ${}\sigma ({\mathfrak {q}})={\mathfrak {q}}'$. Daher gibt es einen ${}R_{\mathfrak {p}}$-Algebraisomorphismus ${}\sigma \colon S_{\mathfrak {q}}\rightarrow S_{{\mathfrak {q}}'}$, weshalb die Verzweigungsordnungen gleich sind, und einen ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$-Isomorphismus der Restekörper

$\kappa ({\mathfrak {q}})\longrightarrow \kappa ({\mathfrak {q}}'),$

weshalb die Trägheitsgrade gleich sind. Die Formel aus Fakt nimmt daher die angegebene Gestalt an.

Zur bewiesenen Aussage