Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

$\iota ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ die Äquivalenz: ${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})$ genau dann, wenn es ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ mit den Fasern von ${}\iota ^{*}$ übereinstimmen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen