Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=\sigma ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ ist und ${}f\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}$, so ist auch ${}f=f\sigma \in {\mathfrak {p}}$, also ist

${}\iota ^{*}({\mathfrak {p}})=R^{G}\cap {\mathfrak {p}}=R^{G}\cap {\mathfrak {q}}=\iota ^{*}({\mathfrak {q}})\,.$

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über ${}{\mathfrak {r}}\in \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Element dieser Faser, welches es nach Fakt gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${}{\mathfrak {q}}$ der Faser in der Bahn durch ${}{\mathfrak {p}}$ liegt, dass es also ein ${}\sigma \in G$ mit ${}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$ gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal der Faser über ${}{\mathfrak {r}}$, das aber nicht zur Bahn durch ${}{\mathfrak {q}}$ gehört. Aus ${}{\mathfrak {q}}\neq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$ (für alle ${}\sigma \in G$) folgt ${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \sigma ^{*}({\mathfrak {p}})$, da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Fakt nicht nulldimensional wäre. Nach Fakt ist dann auch

${}{\mathfrak {q}}\not \subseteq \bigcup _{\sigma \in G}\sigma ^{*}({\mathfrak {p}})=:T\,.$

Sei ${}f\in {\mathfrak {q}}$, ${}f\notin T$. Die Menge ${}T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch ${}f\sigma \notin T$. Somit ist auch ${}g=\prod _{\sigma \in G}f\sigma \notin T$. Andererseits ist aber ${}g\in R^{G}$ und ${}g\in {\mathfrak {q}}$, also ergibt sich der Widerspruch ${}g\in R^{G}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {r}}\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq T$.

Zur bewiesenen Aussage