Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu gebrochenen Idealen mit der Beziehung ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}$ mit ${}r\in Q(R)$, ${}r\neq 0$, gilt für die inversen gebrochenes Ideale die Beziehung ${}{\mathfrak {g}}^{-1}=r^{-1}{\mathfrak {f}}^{-1}$.
2. Zu einem gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ ist das inverse gebrochene Ideal in der Tat ein gebrochenes Ideal.
3. Es ist ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}=R$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen