Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Inverses Ideal/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Der ${}R$-Modulisomorphismus ${}{\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$, ${}f\longmapsto rf$, führt direkt zu einem Isomorphismus ${}{\mathfrak {f}}^{-1}\longrightarrow r^{-1}{\mathfrak {g}}^{-1}$, ${}q\longmapsto r^{-1}q$, da ja ${}q{\mathfrak {f}}\subseteq R$ zu ${}{\left(r^{-1}q\right)}{\left(r{\mathfrak {f}}\right)}\subseteq R$ äquivalent ist.
2. Es ist klar, dass ${}{\mathfrak {f}}^{-1}$ ein von ${}0$ verschiedener ${}R$-Untermodul von ${}Q(R)$ ist. Wenn ${}{\mathfrak {f}}$ durch ${}{\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so betrachten wir ${}{\mathfrak {g}}={\frac {\mathfrak {f}}{a}}$ mit ${}a=a_{1}\cdots a_{n}$, wobei jetzt ${}{\mathfrak {g}}$ ein Erzeugendensystem der Form ${}{\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit ${}c_{i}\in R$ besitzt. Die Bedingung

   ${}q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$

   impliziert ${}q\in R$. Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu ${}{\mathfrak {g}}$ selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf ${}{\mathfrak {f}}$.

3. Für das Produkt ist offenbar

   ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,.$

   Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ oberhalb von ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}$ geben. Es sei ${}{\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}=(\pi ^{n})$ mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi$ und mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Es gibt dann auch ein Element ${}f\in {\mathfrak {f}}$, das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}n$ besitzt. Dazu gibt es auch ein ${}q\in Q(R)$, das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}-n$ und sonst überall eine hinreichend große Ordnung besitzt derart, dass ${}fq\in R$ ist. Dies ist ein Widerspruch, da ${}fg$ an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}0$ besitzt.

Zur bewiesenen Aussage