Der projektive Raum/Punkt ist abgeschlossen/Beschreibung/Bemerkung

Ein Punkt ${}P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist abgeschlossen, und zwar ist ${}P=V_{+}({\mathfrak {a}})$ mit

${}{\mathfrak {a}}={\left(a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}:\,0\leq i,j\leq n\right)}\,.$

Wenn ${}a_{0}\neq 0$ ist, so kann man dies auch als ${}{\left(X_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}X_{0}:\,j\neq 0\right)}$ schreiben. Die Erzeuger ${}a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}$, ${}i\neq 0$, sind dann überflüssig. Dieses Ideal ist offenbar homogenen, und ${}P$ liegt in ${}V_{+}({\mathfrak {a}})$. Sei ${}a_{0}\neq 0$ angenommen. Für einen weiteren Punkt ${}Q=(b_{0},\ldots ,b_{n})\in V_{+}({\mathfrak {a}})$ folgt sofort ${}b_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}b_{0}=0$ für alle ${}j$ bzw.

${}(b_{0},\ldots ,b_{n})={\frac {b_{0}}{a_{0}}}(a_{0},\ldots ,a_{n})\,,$

so dass es sich projektiv um den gleichen Punkt handelt.

Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ist kein maximales Ideal im Polynomring, es ist aber maximal unter allen homogenen Idealen, die von ${}(X_{0},\ldots ,X_{n})$ verschieden sind. In ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ definiert es eine Gerade durch den Nullpunkt, und zwar die Gerade, die dem projektiven Punkt ${}P$ entspricht.