Derivation/Lie-Klammer/Multiplikation/Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$-Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$. Zu ${}f\in A$ bezeichne

$\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,$

die ${}R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${}R$-linearen Abbildungen

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A$

bezeichne

${}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.$

Es sei ${}\delta \colon A\rightarrow A$ eine ${}R$-Derivation. Zeige, dass zu jedem ${}g\in A$ die Abbildung ${}[\delta ,\mu _{g}]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

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