Determinante/Alternierend/Textabschnitt

Wir wollen zeigen, dass die rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

${}\operatorname {Mat} _{n}(K)\cong (K^{n})^{n}\,$

vornimmt, bei der einer Matrix das ${}n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel

${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

auf, wobei die einzelnen Einträge ${}v_{i}$ Zeilenvektoren der Länge ${}n$ sind.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$, für je ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für ${}u,w\in K^{n}$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Beweis

Es seien

$M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also ${}u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)$ und ${}w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)$. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach ${}n$, wobei der Fall ${}n=1$ klar ist. Für ${}i\neq k$ ist ${}{\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}$ und

${}\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,$

nach Induktionsvoraussetzung. Für ${}i=k$ ist ${}M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}$ und es ist ${}{\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}$. Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}$

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

alternierend.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$, wobei es für ${}n=1$ nichts zu zeigen gibt. Es sei also ${}n\geq 2$ und ${}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$. Die relevanten Zeilen seien ${}v_{r}$ und ${}v_{s}$ mit ${}r<s$. Nach Definition ist ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$. Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei ${}\det M_{i}=0$ für ${}i\neq r,s$, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

${}\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$

wobei ${}a_{r1}=a_{s1}$ ist. Die beiden Matrizen ${}M_{r}$ und ${}M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile ${}z=v_{r}=v_{s}$ in ${}M_{r}$ als die ${}(s-1)$-te Zeile und in ${}M_{s}$ als die ${}r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${}s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${}M_{r}$ in ${}M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Fakt unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${}(-1)^{s-r-1}$, also ist ${}\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$. Setzt man dies oben ein, so erhält man

${}{\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$

$\Box$

Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut überblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl ${}s$ multipliziert, so muss man die Determinante auch mit ${}s$ multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile (oder ein Vielfaches davon) zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.