Determinante/Leibnizformel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über ${}n\geq 1$, wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also ${}n\geq 2$. Die Menge der Permutationen ${}\pi \in S_{n}$ kann man aufspalten, indem man nach ${}\pi (1)$ sortiert und die bijektive Abbildung

$\pi {|}_{\{2,\ldots ,n\}}\colon \{2,\ldots ,n\}\longrightarrow \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i\}$

als eine Permutation ${}\rho$ auf ${}\{1,\ldots ,n-1\}$ auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit ${}\{1,\ldots ,n-1\}$ identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion ${}S_{n,i}\cong S_{n-1}$, wobei hier ${}S_{n,i}$ die Menge der Permutationen auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ bezeichnet, die ${}1$ auf ${}i$ abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{i-1}\operatorname {sgn} (\rho )=(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\,,$

da man ${}i-1$ Transpositionen braucht, um die ${}i$-te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion

${}S_{n}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n,i}=\biguplus _{i\in \{1,\ldots ,n\}}S_{n-1}\,.$

Somit gilt

${}{\begin{aligned}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\pi \in S_{n,i}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=2}^{n}a_{j\pi (j)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\sum _{\rho \in S_{n-1}}(-1)^{i+1}\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{k=1}^{n-1}(M_{1i})_{k\rho (k)}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\det M_{1i}\\&=\det M,\end{aligned}}$

wobei ${}M_{1i}$ die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und ${}i$-ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf der Entwicklung nach der ersten Zeile.

Zur bewiesenen Aussage